Немецкий астроном карл шварцшильд

Ник. Горькавый
«Наука и жизнь» №7, 2014

Другие научные сказки Ник. Горькавого см. в «Науке и жизни» №11, 2010, №12, 2010, №1, 2011, №2, 2011, №3, 2011, №4, 2011, №5, 2011, №6, 2011, №9, 2011, №11, 2011, №6, 2012, №7, 2012, №8, 2012, №9, 2012, №10, 2012, №12, 2012, №1, 2013, №11, 2013, №1, 2014, №2, 2014, №3, 2014.

Эта история началась в конце 1915 года на русско-германском фронте. Ужасы Первой мировой войны вместе с бесконечными морозными ночами делали солдатскую жизнь почти невыносимой. Холод и болезни косили людей по обе стороны фронта быстрее пуль и снарядов. О чём мог думать человек в таких условиях? О тепле, еде, доме, о том, как дожить до утра.

Карл Шварцшильд был не таков. В довоенной жизни директор Потсдамской обсерватории и академик Прусской академии наук, он ушёл на фронт добровольцем. Воюя на русском фронте, сорокаоднолетний офицер решал математические уравнения для повышения точности стрельбы из пушек. Вскоре Шварцшильд заболел и попал во фронтовой госпиталь, где, несмотря на лишения и неудобства, занялся своей любимой астрономией. Чудом к нему в руки попала свежая статья Альберта Эйнштейна, в которой тот утверждал, что планеты и звёзды искривляют пространство вокруг себя.

Блестящий математик и увлечённый астроном, Шварцшильд погрузился в изучение сложнейших уравнений Эйнштейна. Богатый опыт помог ему найти решение этих уравнений для случая, когда звезда заменяется гравитирующей точкой. 22 декабря 1915 года учёный отправил своё решение Эйнштейну, приписав к математическим уравнениям такие лирические строчки: «Как видите, война была милостива ко мне, разрешив, невзирая на жестокий артиллерийский огонь в непосредственной близости, совершить эту прогулку в страну ваших идей».

Усилия врачей не помогали, неизлечимая болезнь — пузырчатка — прогрессировала и пожирала жизнь Карла Шварцшильда со скоростью степного пожара. Но уравнения Эйнштейна продолжали волновать ум смертельно больного астронома. Он искал новые решения для более реалистичного случая, когда звезда считается гравитирующим шаром, искривляющим вокруг себя пространство. И нашёл! Несмотря на то что под рукой не было книг, болезнь отнимала остатки сил и совсем рядом гремела война. Этой работой Шварцшильд в очередной раз продемонстрировал свои выдающиеся математические способности.

6 февраля 1916 года Шварцшильд послал Эйнштейну второе решение для гравитирующего шара. В письме он писал о «странных вещах», обнаруженных им при решении уравнений. Расчёты показывали, что звезда с массой, равной массе Солнца, не может быть сжата в шар радиусом меньше трёх километров.

— Что тут удивительного? — заметила Галатея, — ведь Солнце — огромная звезда!

— Но что может помешать учёному провести такой мысленный эксперимент? — возразила королева Никки, которая приехала в гости в замок Дзинтары и по традиции рассказывала её детям — Андрею и Галатее — очередную сказку. — Природа тем не менее запретила даже мысленно приближаться к той границе, которую вскоре стали называть сферой Шварцшильда.

— Как это возможно? — возмутилась Галатея. — Запретить приближаться даже в мыслях?

Никки пояснила:

— На сфере Шварцшильда природа затормозила до нуля самый главный параметр нашего мира — его быстротекущее время. Если представить себе огромного великана, который способен месить и комкать звёзды, как мальчишки лепят снежки, то даже он не сможет сжать Солнце в сферу радиусом меньше трёх километров. Сжимаясь до этого радиуса, звезда перейдёт в замедленное время и перестанет замечать титанические усилия великана. Любой космический корабль, каким бы быстрым он ни был в нашем воображении, тоже не сможет достичь сферы Шварцшильда именно из-за замедления времени!

— Не понимаю, — недовольно сказала Галатея. Андрей кивнул головой, соглашаясь с младшей сестрой.

— Представьте себе корабль, который летит с огромной скоростью, скажем сто тысяч километров в секунду, а вместо Солнца — чёрную дыру с той же массой радиусом в три километра. Сжиматься дальше она категорически откажется.

От Земли до поверхности воображаемой нами чёрной дыры 150 миллионов километров. В нормальных условиях сверхбыстрый корабль должен достичь её за 1500 секунд, или за 25 минут. Включим воображение и установим на корпусе корабля огромные часы, чтобы их было видно в земной телескоп, и будем следить за временем, которое они показывают. Мы заметим, что по мере приближения к чёрной дыре корабельные часы начинают отставать. Секундная стрелка двигается сначала в два раза медленнее, чем у земных часов, потом в три раза, затем — в десять…

Раз время на корабле стало течь медленнее, то и расстояние, которое он преодолевает за секунду земного времени, резко сократилось: не 100 тысяч километров, а всего лишь 10 тысяч. А подлетев к поверхности чёрной дыры, корабль вообще пополз как черепаха. Каждый скачок секундной стрелки приходится ждать всё дольше и дольше: сначала часы, потом дни, потом десятилетия. Наблюдатели на земле успеют состариться и уйти на пенсию, на их место придут другие, молодые, а секундная стрелка на корабле словно застыла, и сам он двигается бесконечно медленно, хотя двигатели его беспрерывно работают. Так сфера остановленного времени делает беспомощными самые могучие силы…

Размышляя над словами королевы Никки, Галатея пыталась понять, как останавливается время, а Андрей явственно представил русско-германский фронт в начале 1916 года…

Январские морозы в России заставляют санитарные сани, подъезжающие к немецкому госпиталю, скрипеть на снегу. В холодном воздухе плывут дымы от печей, пожаров и разрывов тяжёлых снарядов. Картину дополняют громкие приказы унтер-офицеров и стоны раненых, подвозимых к госпитальным дверям. И никто, кроме одного человека, не замечает, что высоко в небе, над войной, горем и слезами, «висит» хорошо заметная мысленному взору, словно созданная из сверкающей темноты, сфера застывшего времени. Сфера, на которой время останавливается, а могучие космические корабли замедляются и застывают, как мошки в янтаре.

Королева Никки продолжила свой рассказ:

— Карл Шварцшильд ещё до войны изучал теорию гравитации Эйнштейна. В 1914 году он даже замерял спектры Солнца, пытаясь найти в них хотя бы еле заметные следы замедления времени на поверхности звезды. Это ему не удалось, зато в начале 1916 года в госпитале он математически доказал, что может существовать объект, столь плотный, что на его поверхности время затормозится до нуля.

Эйнштейн прочитал письма Шварцшильда на заседании Прусской академии наук и послал их в научный журнал для публикации. В марте 1916 года Шварцшильда демобилизовали по болезни, но 11 мая того же года он скончался, так и не узнав, что станет знаменит и учёные будут ломать голову над открытой им сферой застывшего времени. Один из них даже назовёт сферу Шварцшильда «магической сферой» — настолько странными свойствами она обладает.

Две статьи, написанные Шварцшильдом в госпитале на русском фронте, стали самыми важными его научными работами, прославившими автора навсегда. Ведь в них были приведены первые точные решения уравнений Эйнштейна.

Многие годы «магическую сферу» остановленного времени большинство учёных, включая самого Эйнштейна, рассматривали как математический фокус, как сугубо теоретическую проблему: раз звёзды не в состоянии сжиматься до такого сверхплотного состояния, то нечего и думать про их поведение возле сферы Шварцшильда.

— Но ведь никто не мог запретить мысленные эксперименты по сжатию звёзд, значит, проблема всё-таки оставалась! — вмешался Андрей.

— Верно, — согласилась Никки. — Однако отсутствие природного механизма, неограниченно сжимающего звёзды, успокаивало учёных. Но прошло совсем немного времени и эту самоуспокоенность учёных вскоре разрушил молодой индийский астрофизик. В 1929 году 19-летний Субраманьян Чандрасекар во время неспешного плавания на пароходе из Индии в Англию решил уравнения, описывающие состояние звёздной материи, и доказал, что в белом карлике массой в полтора Солнца сила давления уже не может противостоять силе гравитации. Такой объект будет коллапсировать неограниченно, а значит, он должен приблизиться к сфере Шварцшильда и заморозить время.

— Постой, Никки, кто такой этот белый карлик? — спросила Галатея.

— Так астрономы называют компактные яркие звёзды, которые, состарившись, сжимаются до крошечного размера, то есть становятся карликами. Они по-прежнему обладают высокой температурой и светятся белым светом, в отличие от более холодных и крупных красных карликов. Каждый сантиметровый кусочек белого карлика может весить сотни тонн.

— Вот так кусочек! — хмыкнул Андрей. — На дороге найдёшь — в корзинку не положишь.

— Когда пароход Чандрасекара приплыл в Англию, молодой человек сделал доклад о своей работе, основанной на тонких квантовых эффектах в сверхплотном белом карлике. Но у юного астрофизика нашёлся весьма маститый оппонент. Его работу критически воспринял сам сэр Артур Эддингтон, который категорически отказался признавать наличие в природе неограниченно сжимающихся звёзд.

Молодой Чандрасекар из-за резко отрицательного мнения знаменитого учёного на десятилетия бросил заниматься данной темой. Однако другие учёные вскоре подтвердили и уточнили расчёты индийского астрофизика. Они доказали, что массивный белый карлик под действием собственного тяготения должен сжаться в нейтронную звезду — гораздо более плотный объект, чем белый карлик. Каждый кубический сантиметр нейтронной звезды может весить уже миллиард тонн. Но и состояние нейтронного шара — ещё не последний этап жизни массивного светила. Если масса нейтронной звезды будет больше определённой, то она начнёт сжиматься неограниченно: влияние гравитации при сжатии будет только нарастать, и падение звезды в саму себя уже ничто не может остановить.

При неограниченном сжатии звезда приблизится к радиусу Шварцшильда. И тут должно случиться очень важное событие — звезда погаснет, перестанет светить. Физики и астрономы объясняют это так: сила тяжести чёрной дыры настолько велика, что с её поверхности не может вырваться ничего, даже луч света. Именно за это свойство американский физик Джон Уилер назвал сильно сжавшиеся звёзды чёрными дырами. Вернее, какой-то возбуждённый слушатель выкрикнул эти слова на его лекции. Уилер подхватил их, и термин прижился в астрономии.

Как выяснили историки науки, существование чёрных дыр предсказал ещё в конце XVIII века английский сельский священник Джон Митчелл. Он вычислил по формулам ньютоновской гравитации, что может существовать такое массивное тело, скорость убегания (первая космическая скорость) с поверхности которого будет больше скорости света!

С помощью самых совершенных огромных телескопов астрономы доказали, что чёрные дыры существуют во многих системах двойных звёзд, а также в центрах большинства галактик, включая и наш Млечный Путь. Мирно беседуя о возможности существования таких экзотических объектов, мы одновременно несёмся со скоростью 220 километров в секунду вместе с Солнечной системой вокруг гигантской чёрной дыры в центре нашей Галактики.

Королева Никки подошла к окну, за которым расстилалось звёздное небо.

— Вот он, Млечный Путь — наша Галактика. В её середине, за грядой тёмных межзвёздных облаков, прячется чёрная дыра, — затем посмотрела на часы и сказала: — Уже поздно, а то бы я рассказала вам про приключения внутри чёрной дыры и про то, как заставить её ярко светиться.

Галатея не поверила своим ушам:

— Ты же только что объяснила нам, что границу чёрной дыры никто пересечь не может, а светиться она не будет из-за того, что её собственный свет падает назад! Не слишком ли много парадоксов?

— Такие волшебные объекты, как чёрные дыры, способны на очень многое… — загадочно улыбнулась Никки.

The Editors of Encyclopaedia BritannicaThis article was most recently revised and updated by Adam Augustyn.

Сто лет назад Карл Шварцшильд, 42-летний директор Астрофизической обсерватории в Потсдаме и артиллерийский офицер германской армии, во фронтовом госпитале в России сделал важные вычисления и благодаря Альберту Эйнштейну опубликовал две статьи, проложившие путь к созданию теории черных дыр. В мае 1916 года он скончался от пузырчатки. Алексей Левин прочел судьбоносные тексты в оригинале и решил поделиться выводами с читателями ТрВ-Наука.

Предыстория публикаций

25 ноября 1915 года профессор Берлинского университета Альберт Эйнштейн представил Королевской академии наук Пруссии письменный доклад, содержащий систему полностью ковариантных (не меняющих вид при изменении системы координат) уравнений релятивистской теории гравитационного поля, известной также как Общая теория относительности (ОТО).

Неделей раньше Эйнштейн выступил на заседании Академии с лекцией, где продемонстрировал более раннюю и еще неполную версию этих уравнений, которые не обладали полной ковариантностью. Однако уже эти уравнения дали Эйнштейну возможность с помощью метода последовательных приближений правильно вычислить аномальное вращение орбиты Меркурия и предсказать величину углового отклонения звездного света в поле тяготения Солнца.

Это выступление нашло благодарного слушателя — Карла Шварцшильда, коллегу Эйнштейна по Академии. Он служил лейтенантом артиллерии в действующей армии Германской империи и как раз тогда приехал в отпуск. В декабре, уже по возвращении на фронт, Шварцшильд нашел точное решение первой версии уравнений Эйнштейна, которое через его посредство опубликовал в «Отчетах о заседаниях» (Sitzungsberichte) Академии. В феврале, уже ознакомившись с окончательной версией уравнений ОТО, Шварцшильд отослал Эйнштейну вторую статью, в которой впервые фигурирует гравитационный, он же шварцшильдовский, радиус. В современной интерпретации это — радиус горизонта черной дыры, из-под которого невозможна передача сигнала наружу. 24 февраля, когда Эйнштейн передал в печать и эту работу, битва под Верденом длилась уже три дня.

Наука и война

Карл Шварцшильд (1873–1916) был не только блестящим, но и разносторонним ученым. Он оставил глубокий след в наблюдательной астрономии, будучи одним из пионеров оснащения телескопов фотографической аппаратурой и ее использования в целях фотометрии. Ему принадлежат глубокие и оригинальные труды в области электродинамики, звездной астрономии, астрофизики и оптики. Шварцшильд даже успел внести немалый вклад в квантовую механику атомных оболочек, построив в своей последней научной работе теорию эффекта Штарка — смещения и расщепления атомных уровней в электрическом поле [1]. В 1900 году, за пятнадцать лет до создания ОТО, он не только всерьез рассмотрел ту парадоксальную возможность, что геометрия Вселенной отличается от евклидовой (такое допускал еще Лобачевский), но и оценил нижние пределы радиуса кривизны пространства для сферической и псевдосферической геометрии космоса. Не достигнув и тридцати лет, он стал профессором Гёттингенского университета и директором университетской обсерватории, в 1909 году был избран членом лондонского Королевского астрономического общества и возглавил Потсдамскую астрофизическую обсерваторию, а еще через четыре года стал действительным членом Прусской академии наук.

Стройную научную карьеру Шварцшильда оборвала Первая мировая война. Он не подлежал призыву по возрасту, но пошел в армию добровольцем и в конце концов оказался на русском фронте в штабе артиллерийской части, где занимался вычислением траекторий снарядов дальнобойных орудий. Там он стал жертвой пемфигуса, или пузырчатки, очень тяжелого аутоиммунного заболевания кожных покровов, к которому имел наследственную склонность. Эта патология плохо поддается лекарствам и в наше время, а тогда и вовсе была неизлечимой.

В марте 1916 года Шварцшильд был комиссован и вернулся в Потсдам, где скончался 11 мая. Он был одним из самых крупных физиков, чьи жизни унесла Первая мировая. Также можно вспомнить Генри Мозли, одного из основоположников рентгеновской спектроскопии. Он служил офицером связи и погиб в 27 лет в ходе Дарданелльской операции 10 августа 1915 года.

Метрика Шварцшильда

Знаменитая пространственно-временная метрика (или четырехтензор) Шварцшильда исторически стала первым точным решением уравнений ОТО. Она описывает статическое гравитационное поле, которое создается в вакууме неподвижным сферически симметричным телом массы M. В стандартной записи в координатах Шварцшильда t, r, θ, φ имеет две особые точки (на формальном языке — сингулярности), вблизи которых один из элементов метрики стремится к нулю, а другой к бесконечности. Одна из сингулярностей возникает при r = 0, то есть там же, где обращается в бесконечность ньютоновский потенциал тяготения. Вторая сингулярность соответствует значению r = 2GM/с², где G — гравитационная постоянная, M — гравитирующая масса и с — скорость света. Этот параметр обычно обозначают r_s и называют радиусом Шварцшильда или гравитационным радиусом. Это уже неньютоновская сингулярность, вытекающая из уравнений ОТО, над смыслом которой мучилось несколько поколений физиков. Гравитационный радиус тела с массой Солнца равен приблизительно 3 км. Как известно, этот параметр играет ключевую роль в теории черных дыр.

Стоит напомнить, что угловые координаты Шварцшильда θ и φ полностью аналогичны полярному и азимутальному углам в обычных сферических координатах, однако величина радиальной координаты r отнюдь не равна длине радиус-вектора. В метрике Шварцшильда длина окружности с центром в начале координат выражается евклидовской формулой 2πr, однако расстояние между двумя точками с радиусами r₁ и r₂, находящимися на одном радиус-векторе, всегда превышает арифметическую разность r₂–r₁. Отсюда сразу видно, что шварцшильдовское пространство неевклидово — отношение длины окружности к длине ее радиуса меньше, чем 2π.

Первый мостик к черным дырам

А теперь самое интересное. Метрика Шварцшильда, как она приведена выше, в обеих его статьях вообще отсутствует. В первой из его публикаций «О гравитационном поле точечной массы, вытекающем из теории Эйнштейна» [2] представлена метрика пространства-времени, соответствующая полю тяготения точечной массы, которая вовсе не эквивалентна стандартной метрике, хотя внешне на нее похожа. В той метрике, которую написал сам Шварцшильд, радиальная координата имеет нижнюю положительную границу, так что сингулярность ньютоновского типа в ней отсутствует. Остается лишь сингулярность, которая возникает, когда радиус принимает свое минимальное значение, которое возникает как постоянная интегрирования. Для этой постоянной в статье Шварцшильда нет ни формулы, ни численной оценки, только обозначение α. Неформальный смысл этой сингулярности состоит в том, что точечный центр массы окружен сферой радиуса α и на этой сферической поверхности происходит нечто странное и непонятное. В подробности Шварцшильд не вдается.

Карл Шварцшильд получил свою метрику в результате решения уравнений Эйнштейна в их первой версии, с которой он ознакомился 18 ноября. На ее основе он подтвердил величину вычисленного Эйнштейном аномального поворота орбиты Меркурия. Он также вывел релятивистский аналог третьего закона Кеплера — однако только для круговых орбит. Конкретно, он показал, что квадрат угловой скорости пробных тел, обращающихся по таким орбитам вокруг центральной точки, дается простой формулой n² = α/2R³ (буквой n Шварцшильд обозначает угловую скорость; R — радиальная координата). Поскольку R не может быть меньше, чем α, угловая скорость имеет верхний предел n₀= 1/(√2α).

Напомню, что в ньютоновской механике угловая скорость тел, обращающихся вокруг точечной массы, может быть сколь угодно большой, так что тут зримо видна специфика ОТО.

Формула для n₀ выглядит необычно из-за ее размерности. Это связано с тем, что Шварцшильд принимает скорость света за единицу. Чтобы получить угловую скорость с обычной размерностью 1/сек, надо правую часть формулы для n₀ умножить на скорость света c.

Изюминку Шварцшильд приберег под занавес. В конце статьи он отметил, что если величина точечной массы в начале координат равна массе Солнца, то максимальная частота обращения оказывается примерно 10 тыс. оборотов в секунду. Отсюда сразу следует, что α = 10^-4с/2π√2. Так как с = 3х10⁵ км/сек, параметр α оказывается приблизительно равным 3 км, то есть гравитационному радиусу Солнца! Не появившись в статье Шварцшильда явно, это число проникло туда с черного хода и без какого-либо обоснования (Шварцшильд ведь не уточнил, как он получил численную величину предельной частоты). В общем, уже первая статья Шварцшильда прокладывает очень тонкий мостик к теории черных дыр, хотя обнаружить его не так-то просто. Заметив это, я немало удивился, поскольку принято считать, что гравитационный радиус появляется только во второй статье Шварцшильда.

Второй мостик к черным дырам

Вторая статья Шварцшильда называется «О гравитационном поле сферы, заполненной несжимаемой жидкостью, вычисленном в соответствии с теорией Эйнштейна» [3]. В ней (напомню, уже на базе полной системы уравнений ОТО) вычислены две метрики: для внешнего пространства и для пространства внутри сферы. В конце этой статьи впервые появляется гравитационнный радиус 2GM/с², только выраженный в других единицах и никак специально не названный. Как отмечает Шварцшильд, в случае тела с массой Солнца он равен 3 км, а для массы в 1 г равен 1,5х10^-28 см.

Но эти числа еще не самое интересное. Шварцшильд также указывает, что радиус сферического тела, измеренный внешним наблюдателем, не может быть меньше его гравитационного радиуса. Отсюда следует, что точечная масса, о которой шла речь в первой статье Шварцшильда, также представляется извне в виде сферы. Физически это связано с тем, что никакой световой луч не может приблизиться к этой массе ближе, чем на ее гравитационный радиус, а затем вернуться к внешнему наблюдателю. В статье Шварцшильда этих утверждений нет, но они прямо следуют из ее логики. Это второй мостик к концепции черных дыр, который можно найти у самого Шварцшильда.

Эпилог

Сферически симметричными решениями уравнений ОТО после Шварцшильда занимались и чистые математики, и физики, и космологи. Весной 1916 года голландец Йоханнес Дросте, который заканчивал в Лейденском университете докторскую диссертацию под руководством Хендрика Лоренца, представил шефу для публикации работу, в которой вычислил метрику пространства-времени для точечной массы проще, чем это сделал Шварцшильд (о его результататх Дросте еще не успел узнать). Именно Дросте первым опубликовал ту версию метрики, которая позже стала считаться стандартной [4].

В ходе последующей шлифовки решения Шварцшильда был также обнаружен совершенно различный характер сингулярностей: одну, возникающую в стандартной форме метрики при г = rs, как выяснилось, можно устранить заменой координат, другая, возникающая при r = 0 , оказалась неустранимой и физически соответствует бесконечности поля тяготения.

Всё это очень интересно, но полностью выпадает за рамки моей статьи. Достаточно сказать, что математическая теория черных дыр давно и хорошо разработана и очень красива — и вся она исторически восходит к решению Шварцшильда. Что касается физической реальности черных дыр, возникающих в результате коллапса самых массивных звезд, то в нее астрономы начали верить лишь с начала 1960-х годов, после открытия первых квазаров. Но это уже совсем другая история.

1. Schwarzschild K. Zur Quantenhypothese / Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I (1916). P. 548–568.

2. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse 1916. P. 189–196.

3. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse. 1916. P. 424–434.

4. Droste J. The Field of a Single Center in EINSTEIN’s Theory of Gravitation, and the Motion of a Particle in that Field.Proc. K. Ned. Akad. Wet. Ser. A 19. 197 (1917).